rooti

Route, 7

☆코즈☆ — Wed, 3 May 2023 17:47:51 +0900

In-Game

밤송이에 닿자마자 다시 터치해 바로 밤송이를 통과하는 기술, 이른바 ' 밤캔'(밤송이 캔슬)에 대한 보너스 점수를 부여했습니다.
벽면의 다람쥐를 튕기게 하는 기능이 항상 균일한 속도로 작용하지 않는 문제를 내적 매커니즘을 수정함으로써 해결했습니다.
포탈 안에 포탈이 생성되는 버그, 포탈에 도토리가 나오지 않는 버그 등을 수정했습니다.
하드 난이도의 배경 맵을 수정했습니다.

UI

게임 최초 실행 후 첫 보너스 점수 표기 시 렉이 발생하는 버그를 해결한 줄 알았습니다. 저희는 멀었나 봅니다..흑흑
보너스 점수가 사라질 때 페이드아웃됩니다.
아이콘을 만들었습니다.

Later

홈 버튼 클릭 후 다시 게임에 진입1 시 일시정지 화면이 표시되게 할 것입니다.
일시정지 버튼을 누를 때 인게임 터치에 영향이 가는 걸 수정할 것입니다.
해상도를 19:9 크기로 고정하려 합니다.
향후 상점도 추가할 계획입니다.

Route, 6

깨달은도영 — Tue, 4 Apr 2023 10:02:12 +0900

In-Game

게임의 전체적인 최적화를 진행하였습니다.
게임에서 생기는 여러 버그들을 수정하였습니다.
벽에 닿은 뒤 3초가 있으면 자동으로 다람쥐가 튕겨 나오도록 하여 더욱 다양한 플레이가 가능하도록 하였습니다.
게임오버 이후 떨어지는 애니메이션 동안 설정을 들어가 즉각적인 retry가 가능하도록 하였습니다. 게임이 더욱 빠릿빠릿하게 돌아갈 수 있겠죠?
다람쥐가 하나의 축을 기준으로 회전할때 보너스 점수를 받을 수 있도록 하여, 추가적인 점수를 얻을 수 있는 방법을 고안하였습니다. ( 추후에 더 많은 방법으로 보너스 점수를 얻도록 할 예정입니다 )
여러 장애물들에 대한 텍스쳐를 추가하였습니다. ( 인게임 장애물에 대한 텍스쳐는 모두 완성하였습니다 )

UI

보너스점수를 얻는동안 점수의 옆에 현재 얻고 있는 중의 보너스 점수를 표현합니다. ( 현재 점수의 자릿수에 따라 보너스 점수의 표현 위치를 다르게 하였습니다 )
해상도를 가변 해상도로 변환하였습니다.

Later

더 많은 게임 플레이를 통해 버그들을 찾아내고 이 버그들을 수정할 것입니다.
인게임은 거의 다 완성했으나, 배경 텍스처에 대한 아름다움을 더 추가할 것입니다.
시작화면과 로딩화면을 완성할 것입니다.

뱀

Route, 5

깨달은도영 — Wed, 22 Feb 2023 10:41:32 +0900

In-Game

이벤트 출입 시 카메라 자연스러운 이동을 구현했습니다.
돈의 개념으로 도토리를 도입하였습니다! 플레이를 하며 도토리를 열심히 모으면 스킨을 사거나 여러 아이템들을 구입할 수 있겠죠?
도토리 데이터에 대한 json 변환 및 save, load를 구현했습니다.
도토리가 생성되는 로직을 상황과 현재 점수에 따라 랜덤위치에 생성되도록 하는 로직을
만들었습니다.
시작화면에서 인게임 화면으로 넘어가는 중간 과정을 추가하였습니다.
인트로 화면 두 번 터치 && 8초 후 자동으로 skip 안이 나오도록 하였습니다.
메인 카메라의 이동방식을 바꿨습니다. 조금 더 자연스러운 움직임을 위해 노력했습니다.
여러 오브젝트들을 프리펩으로 하여 자동 랜덤생성및 배치를 구현하였습니다.
인게임의 배경이 될 수 있는 픽셀이 완성되었습니다.

UI

몇개의 도토리를 얻었는지 확인할 수 있도록, 최고점수와 함께 보일 수 있도록 하였습니다.
시작화면의 구성을 변경하였고, 게임의 제목으로 사용할 픽셀이 완성되었습니다.

Later

더욱 실감 나는 게임을 위하여 기본 절벽의 배경에 풀, 꽃, 흙, 돌덩이 등등이 랜덤으로 배치될 수 있는 로직을 구현할 것입니다.
시작화면의 배경에 사용될 픽셀을 완성할 것입니다.
도토리 생성 위치에 대한 새로운 방식을 도입할 것입니다.
많은 기술들을 구현한 만큼, 버그가 많이 발견되어 이들을 모두 해결할 예정입니다.

Route, 4

깨달은도영 — Sun, 12 Feb 2023 08:11:52 +0900

In-Game

7초 정도의 시간 이후 Skip 할 수 있는 선택안이 나오도록 하였습니다.
→ 화면을 더블 클릭시 Skip할 수 있는 선택안이 나오도록 하였습니다.
포탈 장애물을 추가하여서 이벤트가 발생하도록 하였습니다.
여러 장애물들의 텍스쳐를 추가하여 귀엽고 무시무시한 장애물을 체험할 수 있습니다!
세이브/로드 데이터 암호화 시스템을 구현하였습니다.

UI

메뉴 UI를 완전히 탈바꿈 하였습니다, 귀엽고 아름다운 텍스쳐로 변경!
게임 도중 메인화면으로 나가거나, 다시 시작을 하게되면 지금까지의 점수가 초기화 되도록 점수 시스템을 변경하였습니다.
게임 오버시 일시적으로 터치에 대한 반응을 하지 않도록 하였습니다.
UI와 화면 터치를 구분하여 UI부분에 터치를 하는경우 아무런 상호작용도 되지 않도록 하였습니다.

Later

무한 생성 배경 로직을 구현하고 게임의 주 화면 부분의 텍스쳐를 대부분 입힐 예정입니다.
게임 시작 전 화면을 꾸밀 예정입니다. ( 게임 제목, 시작 버튼, 설정, 배경 등등 )
시간이 된다면... 상점 시스템을 도입할 예정입니다.


밤톨이	무시무시한(?) 나무 회전 칼날

팩토리얼과 순열, 조합

loxol05 — Mon, 30 Jan 2023 23:47:06 +0900

팩토리얼

팩토리얼은 !으로 표현하는데 n!은 1부터 n보다 작거나 같은 모든 자연수의 곱이다.(*0!=1이다.)

n!= 1×2×···×(n-1)×n

n!은 n명을 1자로 줄 세울 수 있는 경우의 수와 같다.

첫 번째 자리에 올 수 있는 사람 n명, 두번째 자리에 올 수 있는 사람은 첫번째 자리에 간 1사람을 제외한 n-1명, 이와 같은 과정을 반복하면 n-1번째 자리에 올 수 있는 사람은 2명, n번째 자리에 올 수 있는 사람은 1명이다. n명을 1자로 줄 세울 수 있는 경우의 수는 이를 모두 곱한 값과 같으므로 n!과 같음을 알 수 있다.

순열

순열은 서로 다른 n개의 물건 중 r개를 선택하여 나열하는 경우의 수이다. nPr의 형태로 표현한다. 이를 팩토리얼로 나타내보자.

첫번째 자리에 올 수 있는 물건은 n개, 두번째 자리에 올 수 있는 물건은 첫번째 자리에 놓은 1개를 제외한 n-1개, 이와 같은 과정을 반복하면 r-1번째 자리에 올 수 있는 물건은 n-r+2개, n번째 자리에 올 수 있는 물건은 n-r+1개이다. n개의 물건 중 r개를 선택하여 나열하는 경우의 수는 이를 모두 곱한 경우의 수와 같으므로

이다.

조합

조합은 서로 다른 n개의 물건 중 r개를 선택하는 경우의 수이다. nCr의 형태로 표현한다. 이를 팩토리얼로 표현해 보자.

nCr에서 뽑은 r개를 배열하면 nPr이므로 r!×nCr=nPr임을 알 수 있다. 따라서

이다.

교란순열의 일반항

이전글에서 교란순열의 점화식을 구했는데 조합과 순열, 포함배제의 원리를 이용하여 교란순열의 일반항을 구해보자.

n명의 사람의 모자가 섞인 후 다시 모자를 썼을 때 나올 수 있는 경우의 수는 n!이다.

이 경우를 Dn과 1명 이상이 자신의 모자를 썼을 경우로 나누어 보자.

1명이상이 자신의 모자를 썼을 경우를 계산해 보면, 1명이 자신의 모자를 썼을 경우의 수는 nC1X(n-1)!인데 이 경우에서는 중복된 경우가 생긴다. 포함배제의 원리에 의해 짝수명이 자신의 모자를 썼을 경우의 수는 빼고 홀수명이 자신의 모자를 썼을 경우의 수는 더해줘야 한다.

이를 식으로 바꿔보면

가 된다. 여기서 nCk꼴을 팩토리얼로 바꿔보면

이 되는데 우변에서 Dn을 제외한 나머지 항을 약분해서 간략하게 만든 다음에 이항하고 n!으로 묶어주면

이 된다. 물론 점화식에서 일반항을 유도하는 방법도 있으나 그것은 여기에서 다루지 않겠다.

미적분의 기본정리 2 증명 (F.T.C. 2)

☆코즈☆ — Mon, 30 Jan 2023 13:24:51 +0900

미적분의 두 기본정리가 중요하다는 것을 또 짚고 넘어가지는 않겠습니다. 거두절미하고, 두 번째 정리는 아래와 같습니다.

첫 번째 정리는 부정적분에 대해서 설명했고,

두 번째 정리는 정적분에 대해 설명합니다.

이 정리는 역사적으로도 매우 뜻깊습니다. 어떤 구역의 넓이를 구한다는 것은 굉장히 중요한 일입니다. 고대 사회에서부터 이는 마찬가지였고, 토지의 넓이를 구하는 등의 이유로 말이죠. 그런데 과거에 넓이를 구했던 방법은, 현재로 치면 '구분구적법'에 가깝습니다.

구역을 매우 잘게 쪼개서, 그것들의 넓이를 모두 합하는 것이죠. 그 구역이 복잡한 형태였다면 더 힘들 일이 되었을 테고, 보다 정확한 넓이 계산을 위해서는 더 잘게 잘라야 하므로 보통 고역이 아니었습니다.

그런데 이제 적분이라는 개념이 등장합니다. 원시함수라는 것이 대두되죠. 이제는, 어떤 구간에서의 함수의 넓이를 구하기 위해 어떻게 함수를 쪼갤지 고민하는 것이 아니라, 함수의 원시함수가 무엇일지 고민하게 된 겁니다.

한편 이것은 마치 계차수열의 합과 다를 것이 없습니다. 예시를 봅시다.

위와 같은 수열의 합은 어떻게 구해야 할까요? 수열에 대한 정보가 없으면 막막하기만 합니다. 이수열에 규칙이 없다면, 정말로 n번 더해봐야만 그 값을 알 수 있죠. 그런데 알고 보니 이 수열이 계차수열이었다면 어떨까요? 그러니까, 만약 아래와 같이 수열 aⁿ이 정의된다면요. (n은 아래첨자로 생각해주세욤)

그러면 이제 수열 bⁿ의 n번째 항까지의 합은 매우 쉽게 표현됩니다.

미적분의 기본정리 2와 비슷한 형태이지 않나요?

b는 f에 대응되고, a는 f의 원시함수 F에 대응됩니다.

실제로, 도함수 f는 함수 F의 변화를 기술하고 있으며,

계차수열 bⁿ도 수열 aⁿ의 변화를 표현하고 있습니다.

원래 수열을 '알고만' 있다면, 계차수열의 합은 매우 쉽게 구할 수 있습니다. (앞서 봤듯, 끝 항에서 처음 항을 빼면 됩니다.)

원시 함수를 '알고만' 있다면, 함수의 정적분은 매우 쉽게 구할 수 있습니다. (F.T.C. 2에 의해, 끝 점에서의 원시함숫값에서 시작 점에서의 원시함숫값을 빼면 됩니다.)

이것이 미적분의 두 번째 기본 정리의 의의입니다. 이제부터 적분이라는 개념은 진정한 의미에서 수학이 됩니다.

증명하겠습니다.

들어가기에 앞서 다음 정리를 간단하게 증명하고 가겠습니다.

구간 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분가능한 함수 h에 대해:
h'(x)=0이면, h는 상수함수이다.

고등학교 과정에서는 너무 당연한 말이지만, 그래도 증명 없는 정리는 없습니다. 가봅시다.

(a, b]에 속하는 모든 x에 대해 함수 h는 [a, x]에서 연속이고 (a, x)에서 미분가능하겠죠?

평균값 정리에 필요한 두 조건이 만족되었습니다. 오오 씁시다.

이를 만족하는 c가 (a, x)에 적어도 하나 존재합니다. 근데 c가 뭐가 되었건, 전제에 의해 h'(c)=0입니다. 따라서,

이것이 만족되므로, h(x)는 (a, x)에서 상수함수이고, 다시 x의 구간 내 최댓값이 b이므로 (a, b)에서 상수함수입니다.

이제 g를 아래와 같이 정의합시다.

어디서 많이 봤다 싶으면, 첫 번째 정리의 g를 그대로 가져온 겁니다. 첫 번째 정리는 저번에 증명했으므로 가져다 씁시다.

미적분의 기본정리 1 증명

자연스럽게 g'(x)=f(x)임을 알 수 있습니다.

그런데, 원시함수의 정의에 의해, F'(x)=f(x) 또한 성립합니다.

그러면, F'(x)-g'(x) = 0 이므로,

조금 전의 그 간단한 정리에 의해,

F(x)-g(x)가 상수함수임을 알 수 있습니다. 그 상수를 c라 놓고, F(x)-g(x)=c라 합시다.

그러면,

F(b)-F(a) = (g(b)+c) - (g(a)+c) = g(b)-g(a)인 것까지 알 수 있습니다.

그런데 g(a)는 0입니다.

이게 아까 전 g의 정의였는데, a에서부터 a까지의 적분이 0이라는 것은 정적분의 기본적인 성질이죠.

마침내, F(b)-F(a)=g(b)라는 사실을 알았습니다. 그리고 위에 정의된 g에 b를 대입하면,

워후 신난다

증명이 완료된 것 같군요.

왜 x가 아니고 t냐 싶을 수 있지만, 정적분에서 적분변수는 뭘로 두어도 값이 같으므로 상관없습니다. (변수가 안 겹친다면요.)

앞으로 뭘 다루게 될 지 모르겠으니 하고 싶은 걸로 돌아오겠습니다!

미적분의 기본정리 1 증명 (F.T.C. 1)

☆코즈☆ — Sun, 29 Jan 2023 23:08:37 +0900

'기본'이라는 단어는 모든 것의 시작이 됩니다. 미적분의 기본정리는 미분과 적분이라는 대학수학의 두 꽃을 연결짓는 시초이며, 미적분학의 가장 중요한 정리라고 해도 과언이 아니죠.

미적분학의 기본 정리는 두 가지가 있으며, 그 중 첫 번째 정리가 이것입니다.

f가 [a,b]에서 연속일 때, g를 다음과 같이 정의하면,

g는 [a,b]에서 연속이며 (a,b)에서 미분가능하고, g'(x)=f(x)입니다.

라는 것이 이 정리의 내용입니다.

이것은 다시 위 식과도 똑같은 의미입니다. 간단하게 말해, 부정적분하고 미분하면 원래 함수라는 뜻입니다.

이제 이것을 증명합시다.

우선 (a, b)에 속하는 x에 대해, x+h도 (a, b)에 속하는 h가 존재하겠죠. (단 h가 0은 될 수 없습니다.)

그러면, 앞서 정의한 g(x)에 의해 g(x+h)-g(x)는 아래와 같이 표현됩니다.

정적분의 성질에 의해 g(x+h)의 적분구간을 아래와 같이 둘로 쪼개면, 두 항이 소거됨을 알 수 있습니다, 따라서 최종적으로 아래와 같이 정리됩니다.

양변을 h로 나누면

한편, h가 양수일 때를 생각합시다. [x, x+h]에서 f가 연속이므로, 최대·최소 정리에 의해 f(u)=m(구간 내 최솟값), f(v)=M(구간 내 최댓값)을 만족하는 u, v가 [x, x+h]에 존재합니다. 그러면, 아래 식이 성립하겠죠.

이건 기하적으로 바라보면 이해가 빠르실 겁니다.

초록색 사각형의 넓이가 mh, 빨간색 사각형의 넓이가 Mh, 파란색 사각형의 넓이가 적분한 넓이입니다. 그러면 아까 전 식이 당연히 성립함을 알 수 있죠.

(물론 여기 그래프의 넓이는 음수를 포함하는 개념입니다.)

이제 아까 그 식을 h로 나눕시다. 이제 m과 M은 각각 같은 값인 f(u)와 f(v)로 적겠습니다.

그리고 이 식이 아래 식과 같아지는 것은 아까 보였습니다.

이제 lim을 씌울 준비를 하기 위해 다음 사실을 알고 갑시다.

u와 v는 x와 x+h 사이에 있는 값입니다. 그렇다면, h→0일 때, u→x이고 v→x임을 알 수 있죠. 일종의 조임정리 같은 느낌이랄까요.

그래서 위와 같이 성립합니다.

그러면 이제 아까 전 부등식에도 h→0의 극한을 취합시다.

따라서 조임정리(샌드위치 정리)에 의해,

이 극한도 f(x)로 수렴함을 알 수 있습니다. 그리고 이 극한은, 미분의 정의에 의해, 다름아닌 g'(x)입니다.

결과적으로, g'(x)=f(x)임이 증명되었습니다.

다음 글에서 미적분학의 기본 정리 중 2번째 정리로 찾아오겠습니다.

여사건

loxol05 — Sat, 28 Jan 2023 19:45:29 +0900

여사건

여사건은 어떠한 사건이 일어나지 않는 사건을 의미한다. 경우의 수 문제를 풀 때 '적어도'라는 말이 있을 경우 여사건을 이용하여 문제를 풀면 더 쉽게 풀 수 있다.

이전글의 예제를 여사건을 이용하여 풀어보자

예제) 1~9의 숫자로 구성된 세 자리 자연수 중 적어도 하나의 1이 포함되어 있는 경우의 수를 구하시오.

이는

(전체 경우의 수) - (1이 하나도 포함되어 있지 않은 세자리 자연수)

*여기서 전체 경우의 수는 1~9의 숫자로 구성된 세자리 자연수의 개수를 의미한다.

로 구할 수 있다.

전체 경우의 수: 9×9×9=729

1이 하나도 포함되어 있지 않은 세자리 자연수: 8×8×8=512

따라서 답은 729-512=217

이전글에서 구한 답과 같음을 알 수 있다.

포함배제의 원리

loxol05 — Sat, 28 Jan 2023 19:19:40 +0900

포함배제의 원리

포함배제의 원리는 집합에서 주로 사용된다. 하지만 경우의 수를 구할 때도 사용된다. 예제를 통해 포함배제의 원리가 무엇인지 알아보도록 하자

예제) 1~9의 숫자로 구성된 세 자리 자연수 중 적어도 하나의 1이 포함되어 있는 경우의 수를 구하시오.

쉽게 생각해보면 백의 자리 숫자가 1일 경우, 십의 자리 숫자가 1일 경우, 일의 자리 숫자가 1일 경우를 전부 세어서 더하면 된다. 하지만 이렇게 계산하면 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 모두 1인 경우 등 중복되는 경우가 생긴다. 포함배제의 원리는 이러한 중복되는 경우를 빼고 더하면서 경우의 수를 구하는 방법을 말한다.

백의 자리 숫자가 1일경우, 십의 자리 숫자가 1일 경우, 일의 자리 숫자가 1일 경우를 벤다이어그램으로 표현해 보면 위의 그림과 같다.

포함배제의 원리에 따라

{(백의 자리가 1인 경우의 수)+(십의 자리가 1인 경우의 수)+(일의 자리가 1인 경우의 수)} - {(십, 백의 자리가 1인 경우의 수)+(일, 백의 자리가 1인 경우의 수)+(일, 십의 자리가 1인 경우의 수)}+{(일,십,백의 자리가 1인 경우의 수)}

로 계산하면 된다.

백의 자리가 1인 경우의 수: 9×9=81가지

십의 자리가 1인 경우의 수: 9×9=81가지

일의 자리가 1인 경우의 수: 9×9=81가지

십, 백의 자리가 1인 경우의 수: 9가지

일, 백의 자리가 1인 경우의 수: 9가지

일, 십의 자리가 1인 경우의 수: 9가지

일, 십, 백의 자리가 1인 경우의 수: 1가지

따라서 243-27+1=217가지이다.

포함배제 원리의 증명

이는 인터넷의 조사해 보면 크게 3가지의 방법이 나오지만 경우의 수보다는 집합에 더 가까우므로 생략하겠다.

수형도와 교란순열

loxol05 — Sat, 28 Jan 2023 18:50:20 +0900

수형도

경우의 수는 어떻게 풀어야 할지 모르겠을 때 노가다라도 하면 답을 구할 수 있는 게 매력이라고 생각한다.

하지만 노가다도 효율적으로 해야 한다. 효율적인 노가다를 위한 방법이 수형도이다. 예제를 통해 수형도가 뭔지 알아보도록 하자.

예제) 4명의 사람이 모자를 쓰고 있었는데 어쩌다보니 모자가 다 섞여버렸다. 모자를 아무거나 골라서 썼을 때 4명 모두가 자신의 모자가 아닌 다른 사람의 모자를 썼을 경우의 수를 구하여라

풀이) 사람을 각각 1, 2, 3, 4라고 하고 수형도를 그려보면

다음과 같이 나온다. 따라서 경우의 수는 9가지 이다.

수형도를 이용하면 모든 경우의 수를 빠짐없이 셀 수 있다.

교란순열

교란순열이란 위의 예제처럼 각 원소의 위치가 바뀌었을 때 모든 원소가 원래 위치가 아닌 다른 위치에 위치하는 순열이다.

위의 예제는 원소의 개수가 4개였지만 원소의 개수가 더 많아지면 수형도로는 경우의 수를 구하기가 힘들다.

원소의 개수가 n개인 교란순열의 점화식을 구해보자.(원소가 n개일 때 교란순열의 값을 Dn이라 하자)

n명의 사람을 1~n이라고 하자.

만약 1번의 모자를 2번이 썼다고 가정하자. 그러면 경우를 2가지로 나누어 볼 수 있다.

1) 1번이 2번 모자를 썼을 경우

이 경우의 수는 나머지 n-2명끼리 모자를 바꿔 쓰는 경우의 수와 같으므로

와 같다.

2) 1번이 2번 모자가 아닌 다른 사람의 모자를 썼을 경우

이 경우의 수는 1번과 나머지 n-2명이 서로 모자를 바꿔 쓰는 경우의 수와 같으므로

와 같다.

*이 경우에서는 1번이 2번 모자도 쓰면 안 되기 때문에 2번 모자를 1번모자라고 생각하면 좀 더 이해하기 쉽다.

=>1번이 2번모자를 썼을 경우의 수는

임을 알 수 있다.

1번이 3~n번의 모자를 쓰는 경우의 수도

와 같다.

따라서

임을 알 수 있다.

합의 법칙과 곱의 법칙

loxol05 — Sat, 28 Jan 2023 18:05:04 +0900

합의 법칙

두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 두 사건 A, B가 일어날 경우의 수가 각각 a, b일 때 사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수는 a+b이다.

곱의 법칙

두 사건 A, B가 일어날 경우의 수가 각각 a, b일 때 사건 A와 B가 동시에 일어날 경우의 수는 a×b이다.

예제) 서로 다른 주사위 2개를 던져서 나올 수 있는 경우의 수를 구하시오.(단, 주사위를 적어도 한 개는 던져야 하나, 모두 던질 필요는 없다)

풀이)

서로 다른 두 주사위를 각각 A, B주사위라고 하자

1) 주사위 1개를 던질 경우의 수

-A주사위: 6가지

-B주사위: 6가지

=>12가지

*A주사위와 B주사위를 던지는 경우는 동시에 일어나지 않는 사건이므로 A주사위를 던질 때 나올 수 있는 경우의 수인 6가지와 B주사위를 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수인 6가지를 더한다.

2) 주사위 2개를 던질 경우의 수

-A주사위: 6가지

-B주사위: 6가지

=>36가지

*주사위 2개를 던지는 경우는 동시에 일어나는 사건이므로 A주사위를 던질 때 나올 수 있는 경우의 수인 6가지와 B주사위를 던질 때 나올 수 있는 경우의 수인 6가지를 곱한다.

1), 2)에 의해서 답은 48가지이다.

*1), 2)도 동시에 일어나는 사건이 아니므로 두 사건의 경우의 수를 더한다.

싱글톤 패턴 : Singleton pattern

깨달은도영 — Fri, 27 Jan 2023 00:37:12 +0900

싱글톤이 왜 필요한가?

평소에 우리가 클래스를 만드는 이유가 무엇인지 곰곰이 생각해 보자. 클래스는 설계도와

똑같이 생긴 여러 복제품을 찍는것에 그 의의가 있었고 우린 그렇게 사용해 왔다.

그런데 만약 우리가 단 하나의 객체가 필요하거나 여러 객체 중 외부 클래스에서 접근해야 하는

객체가 존재한다면 어떡해야 할까? 그럴 때 사용하는 것이 바로 싱글톤 패턴이다.

싱글톤 패턴 : Singleton pattern

기본적인 싱글톤 패턴은 아래의 코드와 같다.

이 코드와 아래의 코드에서 생성자를 private, public으로 선언한것이 다르다, 주의 바란다!

일단 우리는 딱 하나의 인스턴스만 만든다고 해보자. 버 X킹의 회사를 예로 들겠다.

우리가 버X킹을 위한 프로그램을 만들고 있는데, 버X킹 본사는 전 세계에 한 개다.

즉, 여러 개의 인스턴스가 필요가 없다는 의미이다. 위 코드에서 static으로 instance라는

참조변수를 통해 BurgerCompany 클래스를 선언하고 null로 초기화하였다.

참조변수가 static임이 아주 중요하다. 또, static 메서드도 하나 보인다. 메서드를 조금 더

자세히 살펴보도록 하자.

public으로 외부 클래스에서 접근이 가능하도록 하였고 반환값이 클래스인 BurgerCompany이다. 만약 instance가 null 이면 인스턴스화를 시행하고, instance를 반환한다. 아직까지 이 코드가 무엇을 의미하는지 감이 안 올 수도 있기 때문에 어떻게 활용하는지를 보자.

BurgerCompany 클래스에 sales와 num이라는 변수가 추가되고, ShowInfo( ) 라는 메서드가 추가되었음을 확인할 수 있다. sales는 매출을 의미하고 num은 판매한 제품의 개수를 의미한다.

Burger 클래스에서 burgerKing이라는 참조변수가 보일 것이다.

그런데 뭔가 이상하다.. 우리가 앞에서 배운 인스턴스화는 main함수 안에서 이루어지며 선언 이후 반드시 이루어져야 하는 것이었는데, 위 예시에선 인스턴스화의 흔적이 보이지 않는다.

대신 BurgerCompany 클래스에서 static으로 선언된 함수 getInstance( )를 실행하고 있음이 보인다. 그러면 다시 getInstance( ) 함수를 살펴보자.

만약 null 이면 인스턴스화, 그리고 그 참조변수를 반환..? 이제 이해가 가지 않는가??

static으로 선언된 instance라는 참조변수가 가지고 있는 객체의 주소를 그대로 주는 함수인 것이다. 그렇기 때문에 Burger 클래스에서 BurgerCompany라는 참조변수를 인스턴스화를 할 필요 없이 이미 static 영역에 존재하는 참조변수가 가리키고 있는 인스턴스를 함께 쓰는 것이다.

그러면 이를 활용해 보자. 각각의 버거를 샀을 때 단 하나의 객체에 접근하여 정보를 수정해 보자. Burger 생성자를 통해 제품의 이름과 가격 그리고 할인율에 대한 정보가 입력되는데, 이때마다 버거회사 (단 하나의 객체) 의 매출을 올려주고 판매한 제품의 개수도 증가시켜 주는 것이다. 그러면 아주 아름답게 결과가 잘 나오는 것을 알 수 있다.

public BurgerCompany() { }

private BurgerCompany() { }

마지막으로 생성자의 접근제어자를 다뤄보자. public의 경우 외부 클래스에서 새로운 인스턴스를 만들 수 있는 기회를 제공하고 private이라면 위 예제와 같은 경우 단 하나의 인스턴스만 존재할 수밖에 없을 것이다. 그 차이점은 맘스X치

회사를 만들 수 있을지 없을지의 차이밖에 없다.

게임 개발에서의 싱글톤

게임 개발에서 싱글톤은 상당히 많이 사용되는 패턴 중 하나이다.

플레이어에 대한 정보는 게임 안에서 단 하나여야 하고 여러 개가 생성되면

오류가 생길 수 있으므로 이를 싱클톤 패턴을 활용해 방지하기도 한다.

더 자세한 내용은 유튜브에 찾아보면 많이 나온다 ㅎㅎㅎ!!

Route, 3

깨달은도영 — Thu, 26 Jan 2023 00:50:48 +0900

In-Game

인트로 애니메이션을 만들고 안드로이드 버전에 맞춰 영상을 추가하였습니다.
7초 정도의 시간 이후 Skip 할 수 있는 선택안이 나오도록 하였습니다.
많은 애니메이션 버그들을 수정하였습니다.
여러 장애물들이 추가되었습니다(텍스처는 입히기 전입니다) .

UI

UI와 인게임 화면의 터치를 구분, UI를 터치했을때 게임이 진행되는 버그를 수정하였습니다.

Later

Json 암호화 및 복호화를 아직 구현하지 못하였습니다. 다음 업데이트에서 구현할 예정!
더 많은 장애물들을 추가할 예정입니다.
더욱 풍부한 텍스처를 추가할 예정입니다.
게임오버시 이벤트를 변경할 예정입니다.

꼬르륵

멈춰있는 것들: Static Variable, Static Method

깨달은도영 — Wed, 25 Jan 2023 22:09:12 +0900

메모리 구조와 함께 Static 변수와 메서드를 공부해 보자

메모리 구조

자바의 메모리 구조

위 사진에서 알 수 있듯이 자바의 메모리 구조는 크게 데이터 영역, 힙 영역, 스택 영역

으로 나눌 수 있다. 앞 글에서 배운 개념들을 메모리의 관점에서 설명해 보자.

여러 참조 변수들과 지역 변수들, 매개변수들 등과 같은 변수들이 모두 실행될 때

스택 영역에 생성된다. 그리고 각 클래스들로부터 만들어진 인스턴스들은 힙 영역에

자리 잡히고 인스턴스 변수들도 마찬가지이다. 쉽게 생각하면 참조변수들은 힙 영역에

존재하는 인스턴스가 가지고 있는 "주소"를 가지고 있다고 생각하면 된다.

마지막으로 데이터 영역인데 프로그램이 실행될때 딱 한 번만 선언되는 static변수들이

여기에 존재한다. 이 글에서 알아볼것이 바로 static 변수이다. (그리고 static 메서드)

Static Variable 그리고 Static Method

위에서 설명한것 처럼 Static은 프로그램이 실행되면 딱 한 번만 선언되고 모든 스크립트에서

접근이 가능한 특이한 변수이다. 게임의 구동원리로 생각하면 이해하기가 쉬운데, 우리가

게임을 개발할때 int money 라는 변수를 선언했다고 하자. 이 변수는 여러 개 생성되면 안 되고

게임을 실행했을 때 그 플레이어가 가지는 단 하나의변수이다. 이럴 때 바로 static으로

선언하여 static int money로 선언하는 것이다. 또 static 변수의 특징은 그 변수에 접근하기

위해 새로운 인스턴스를 굳이 만들 필요가 없다는 것이다. 즉, 클래스의 이름 그대로 접근이

직접적으로 가능하다는 것이다 예시를 보자.

A라는 클래스를 만들고 static으로 int money를 선언하였다. 아무런 인스턴스화 없이도 바로

money라는 변수에 접근이 가능하다. 아는 데이터 영역이라는 영역이 있기 덕분에 가능한 것이다.

이번엔 static 메서드에 대해 알아볼 것인데, static 메서드도 static 변수와 같이 인스턴스화 없이

바로 사용이 가능하다. 그렇기 때문에 그 함수 내부에서 사용하는 변수는 static 영역에

존재하는 static 변수들이거나 그 메서드 안에 존재하는 지역 변수여야 한다.

즉, 우리가 일반적으로 사용하는 메서드와는 달리 변수가 어디에 있는지가 상당히 중요하다는 것이다. 당연히 static 변수처럼, 인스턴스화가 없더라도 다른 클래스에서 사용이 가능하다.

이거 예약어 : this reserved word

깨달은도영 — Wed, 25 Jan 2023 19:10:32 +0900

예약어(Reserved word)

컴퓨터 프로그래밍 언어에서 이미 문법적인 용도로 사용되고 있기 때문에 식별자로 사용할 수 없는 단어들이다. 예를 들어 C에서 return은 변수명이나 함수명으로 사용할 수 없다. 그런 단어들은 키워드이다. (위키피디아)

말 그대로,, 이미 특정한 의미로 사용되기 예약됨, 변수 이름이나 메서드로 사용하면 안 됨!

자신의 메모리를 가리키는 this

저번 글에서 잠시 언급한 예시를 다시 한번 보자.

( 수정사항 --> String[ ] coupons = new String[2]; )

생성자도 결국 메서드 중 하나이니 생성자로 설명을 하겠다. 메서드에서 입력하는 값( 이 예시에서는 int memberID, String memberShip )의 이름과 각 인스턴스가 가지고 있는 인스턴스 변수의 이름이 같으면 뭐가 입력값이고 뭐가 인스턴스변수인지 혼란이 올 수밖에 없다.

엥? 입력하는 변수이름과 인스턴스 변수이름을 다르게 하면 안 되나?라고 생각할 수도 있지만 음, 맞긴 하다... 근데 변수의 개수가 많아지면 좀 보기 싫어서 같은 의미를 두고 있는 변수는 이름을 같게 하되 유래가 다름을 this로 보여주는 것 아닐까..? ( 지극히 개인적인 생각입니다. )

생성자에서 다른 생성자를 호출하는 this

경우에 따라 하나의 클래스 내부에 여러 생성자가 필요할 때가 있다고 한다.

그럴 때 어떤 생성자에서 다른 생성자를 호출할 필요가 있다. 예시 코드로 설명을 하겠다.

이것을 보면 느낌이 올 것이다. 디폴트 생성자로 하나의 인스턴스를 생성하면 null의 느낌으로 디폴트 정보로 넣어주는 것이다. 당연히 생성자를 만들 때 입력해야 하는 형식 그대로 정보를 넣어줘야 오류가 나지 않는다.

여기서 주의해야 하는 것이, this를 사용해 인스턴스를 생성하기 전에는 그 인스턴스에

관련된 코드를 적으면 아직 인스턴스화가 안되어 있다 보니 오류가 날것이다.

은밀하게.. 정보 은닉과 접근 제어자

깨달은도영 — Wed, 25 Jan 2023 18:36:11 +0900

왜 필요한가?

학생의 신분으로 뭘 알겠나? 솔직히 필자도 정보 은닉의 중요성을 하나도

알지 못한다. 그러나 너무나 당연한 건 게임, 애플리케이션등과 같은 프로그램들

그리고 여러 사이트들은 보안이 중요하다는 것이다. 메모리에 올라가 있는 여러

변수들이 외부에서 너무나도 쉽게 읽히고 바뀐다면 많은 문제가 생기는 게 당연하다.

물론 어떻게 다른 변수에 접근하는지 그 방법은 나도 아직 잘 모르지만, 안전하게

보안을 철저히 해 두는것이 좋지 않은가...

접근 제어자

자바에는 크게 세 개의 접근제어자로 나눌 수 있고 아무런 제어자를 안 적을 수도 있다.

접근 제어자	설명
public	외부 클래스 어디에서나 접근 가능
protected	같은 패키지 내부와 상속 관계의 클래스에서만 접근 가능, 그 외 클래스에서는 접근 불가
아무것도 안적음!	default로 같은 패키지 내부에서만 접근 가능
private	같은 클래스 내부에서'만' 접근 가능

Get( ), Set( ) 메서드

각 변수들 각자의 은닉성이 보장되어야 하니 그들에 접근할 수 있는 다른 방법이 필요했다.

Get( ) 그리고 Set( ) 함수들은 그 이름에서 알 수 있듯이 변수 값을 반환해 주는 Get 메서드

그리고 변수 값을 지정하는 Set( ) 함수로 접근이 가능하도록 한다.

메서드 자체의 은닉성은 보장되지 않아도 되는건가? 나도 잘 모르겠다 히히.

게임개발 시 주의할 점 ( 유니티 C# )

게임개발을 하며 스크립트를 작성할때 변수 혹은 메서드의 접근 제어자를 결정할 때

잘 생각해야 하는 것이 만약 private으로 선언해 버리면 외부 클래스에서 접근이 불가능해

오브젝트 사이의 상호작용이 어려워질 수 있다.

그런데, [SerializeField]를 활용하면 유니티에서 private으로 선언된 변수를 스크립트상에서는

접근이 불가능하지만 UnityEditor상에서는 접근이 가능하도록 할 수 있다.

이는 직렬화를 통해서 private 영역을 유니티가 UnityEditor에서는 보일 수 있도록 하는 것이다.

연속성의 정의와 관련 정리들의 증명 총정리

☆코즈☆ — Wed, 25 Jan 2023 14:10:05 +0900

함수 f가 a에서 연속임은 다음과 같이 정의됩니다.

이 정의는, f가 a에서 연속이기 위해서 다음 세 조건이 요구됨을 알려줍니다.

f(a)가 정의된다.(a가 f의 정의역에 속한다.)
x가 a로 접근할 때의 f(x)의 극한값이 존재한다.
1에서의 f(a)가 2에서의 극한값과 같다.

한편, 한쪽 방향의 극한값만이 함숫값과 같다면, 그 방향으로만 연속입니다.
다시 말해,

위와 같이 우극한이 f(a)와 같다면, 'f는 a에서 오른쪽으로부터 연속이다'라고 말합니다.

좌극한이 같다면, 왼쪽으로부터 연속이겠죠.

물론 좌극한과 우극한이 같으면 완전히 연속입니다.

그렇다면 어떤 구간에서 f가 연속임은 어떻게 정의될까요?
간단하게, 구간 내의 모든 점에서 연속이면 f가 그 구간에서 연속이라고 합니다.
열린구간이면 문제될 게 없지만, 닫힌구간이면 양 끝점이 문제가 됩니다.

비유해봅시다. 줄넘기 줄이 끊기지 않고 한 줄로 연결돼있음을(연속임을) 어떻게 표현할까요? 줄넘기 줄의 작은 부분을 봤을 때, 그 부분의 왼쪽에도 오른쪽에도 줄이 이어져있으면 됩니다. 그런데 줄넘기의 양쪽 끝은 그렇지 않겠죠. 둘 중 한쪽은 오른쪽만, 한쪽은 왼쪽만 이어져 있습니다. 그래도 줄넘기 줄은 연속입니다.

구간에서도 양 끝점은 한쪽 방향으로만 연속이면 됩니다. 구간의 양 끝점 중 왼쪽의 점은 오른쪽으로 연속, 오른쪽의 점은 왼쪽으로 연속이면 됩니다.

이제 몇 가지 연속성에 관련된 정의들을 살피겠습니다.

먼저, Chapter 1에서 나왔던 극한 법칙을 다시 상기하고 가겠습니다.

Calculus

위의 법칙은 참임을 증명할 수 있습니다.
그렇다면 우리는 한 가지 사실을 알 수 있습니다.
x가 a로 접근할 때 함수 f와 g의 극한값이 각각 f(a), g(a)와 같다면, (= f와 g가 a에서 연속이라면,)

f(x)±g(x)의 극한값은 f(a)±g(a)이다. (= f±g도 a에서 연속이다.)
cf(x)의 극한값은 cf(a)이다. (= cf도 a에서 연속이다.)
f(x)g(x)의 극한값은 f(a)g(a)이다. (= fg도 a에서 연속이다.)
f(x)/g(x)의 극한값은 f(a)/g(a)이다. (= f/g도 a에서 연속이다.)

쉽게 말해,

'f와 g의 극한값이 (요거요거)이면, 모시깽이 함수의 극한값은 (죠거죠거)가 된다.'
라는 Chapter 1의 극한 법칙에서,

'f와 g가 연속이면, 모시깽이 함수는 연속이다.'
로 바꾸기만 하면 됩니다. 물론, 나눗셈을 포함한 법칙에서는 분모가 0이 되는 경우를 제해야겠죠.

그런데 위 정리를 쓰려면 의문이 듭니다.
f와 g가 연속이면 f+g도 연속이라는 건 알겠는데, 애초에 f와 g가 연속인 것은 어떻게 알까.
그래서 우리는 아래 정리를 기억해 두어야 합니다.

모든 다항함수는 정의역(= 실수 전체)에서 연속이다.
모든 유리함수는 정의역(= 분모가 0이 되는 점을 제외한 실수 전체)에서 연속이다.

이것 또한 증명해보겠습니다.
먼저 모든 다항함수는 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

한편, 우리는 상수의 극한값은 그냥 원래 상수와 같음을 알고,
(엡실론-델타 논법으로 쉽게 증명할 수 있습니다. lim{x→a} (c) = c임을 즉석으로 증명하자면,
ε이 애초에 양수이기 때문에, δ를 무엇으로 잡더라도 0<|x-a|<δ일 때 |c-c|=0<ε임이 자명합니다.)

m이 자연수라면 위 또한 성립함을 알 수 있습니다.
(물론 위 등식은 모든 실수 m에 대해 성립하지만, 자연수 m에 대해 성립하는 것만 보여도 이 증명에서는 충분합니다.
Chapter 1에서 등장한 곱의 극한 법칙(f(x)g(x)의 극한값은 f(a)g(a), f와 g 자리에 모두 x를 집어넣자.)을 m-1번 사용하면 됩니다.
물론, lim{x→a} (x) = a라는 것 정도는 증명해야 합니다. δ=ε으로 잡으면 됩니다.)

그러면 모든 실수 a에 대해, 다음이 성립함을 알 수 있겠죠.

(먼저 양변 전체에 lim을 씌우고, 합의 극한 법칙을 사용해 우변의 모든 항에 각각 lim을 덧붙이고, 우변에서 상수항을 제외한 나머지 항들은 상수배의 극한 법칙을 사용해 계수를 lim 앞으로 뺍니다. 그러면 아까 언급한 두 가지 사실에 의해 위 식이 나옵니다.)

'모든 실수' a에 대해, 즉 정의역(실수 전체)의 모든 점에 대해 저것이 성립하므로 다항함수는 정의역에서 연속입니다.

다항함수가 정의역에서 연속임을 보였으면, 유리함수가 정의역에서 연속임을 보이는 것은 쉽습니다.

유리함수 f(x)는 P(x)/Q(x) 형태로 표현할 수 있습니다. P(x)와 Q(x)는 다항함수겠죠? 따라서 앞서 보였듯 둘 다 실수 전체에서 연속입니다.
한편, f(x)의 정의역은 Q(x)≠0인 모든 실수 x입니다.

이 정보들을 다른 말로 표현해보겠습니다. f의 정의역에 속하는 모든 실수 a에 대해,

위와 같이 성립합니다. 어디서 많이 본 조건인데, 바로 곱의 극한 법칙의 조건입니다. 이 법칙에 의해 아래가 성립합니다.

P(x)/Q(x)는 다름 아닌 f(x)이고, 즉 x가 a로 접근할 때의 f(x)의 극한값이 f(a)와 같다는 의미죠.
다시 말하지만 정의역에 속한 모든 실수 a에 대해서입니다.
따라서 연속의 정의에 의해, 유리함수 f는 정의역에서 연속입니다.

한편 이 밖에도, 제곱근 함수, 삼각함수 등도 정의역 전체에서 연속입니다.
제곱근 함수는 그렇게 증명이 어렵지는 않을 것 같습니다.

아까 전 다항함수 증명에 썼던 녀석인데, 아까도 언급했지만 사실 자연수뿐만 아니라 모든 실수 m에 대해 성립합니다.
실수 m에 대해 증명하는 것은 좀 더 복잡한 과정을 거치겠지만, 유리수 m에 대해 증명하는 것은 기본 극한 법칙들을 잘 사용하면 됩니다.(m을 p/q(q≠0, p와 q는 정수)꼴로 두어야겠죠.)

삼각함수는 증명이 조금 더 까다롭습니다. 삼각함수가 연속인 것을 보이기 전에, 이것부터 증명하고 갑시다.

Calculus

f가 b에서 연속이고, x가 a로 접근할 때 g(x)의 극한값이 b이면, 저기 저 두번째 줄이 성립한다는 뜻입니다. 이건 엡실론-델타 논법으로 증명하겠습니다.

먼저 f가 b에서 연속이므로 b로 접근하는 극한값이 b에서의 함숫값과 같고, 이를 극한의 엄밀한 정의로 표현하면 아래와 같습니다.

또, lim{x→a}g(x) = b이므로, 이를 극한의 엄밀한 정의로 표현하면 아래와 같습니다.

이번엔 모든 양의 실수 엡실론이 아닌 것에 주목합시다. 모든 양수 엡실론에 대해 성립한다는 것은, 다르게 말하면, 우리가 증명을 위해 엡실론의 값을 임의로 특정해 줘도 된다는 뜻입니다. 이미 g(x)의 극한이 b임을 알고 있기에 이 방법이 가능합니다.

그러면 신기한 일이 벌어집니다. 만약 0<|x-a|<δ이면, |g(x)-b|<δ₁이 성립하고, 그러면 |f(g(x))-f(b)|<ε이 성립합니다.
(t 자리에 g(x)가 대입된 것입니다.)

어느덧 극한의 엄밀한 정의에 의해 이 정리가 증명되었습니다.

그리고 마치, 아까 전 기본 극한 법칙들을 이용해 연속에 관한 정리를 만들어낸 것처럼, 이 정리도 연속성에 대한 따름정리를 야기합니다.
방금 그 정리에 의해, g(x)가 a에서 연속이고 f(x)가 lim{x→a}g(x)에서 연속이라면,

엇, f(g(x))도 a에서 연속이네요!

드디어드디어 모든 삼각함수가 정의역에서 연속임을 증명합시다.
근데 진짜 마지막으로 하나만 알고 가자면, 제일 처음 설명한 연속의 정의를 이렇게도 표현할 수 있다는 것입니다.

이것을 만족하면 f는 a에서 연속입니다. 빠르게 증명하겠습니다.

잠시 원래 정의를 가져왔습니다. 이 정의를 엡실론-델타 논법으로 표현하면 다음과 같습니다.

여기서 h=x-a로 두면 위 문장은 다시 이렇게 표현됩니다.

그러니, 다시 극한의 엄밀한 정의에 의해 처음 그 식이 성립하는 걸 알 수 있겠죠? 증명 끝.

이제 사인함수부터 갑시다. 사인함수가 정의역에서 연속인 걸 보이려면 정의역에 속하는 모든 실수 x에 대해 다음이 성립하는 것만 보이면 됩니다.

이 식은 삼각함수의 덧셈정리에 의해, 다시 이렇게 표현됩니다.

다시 상수배와 합의 극한 법칙에 의해, 이렇게 쪼개지리라 기대합니다.

물론 바로는 못 쪼갭니다. cosh와 sinh의 극한을 알고 있어야 쪼갤 수 있습니다. 너무 직관적으로 1과 0이지만, 아쉽게도 그렇게 바로 가지는 못합니다.

이거 일이 커졌는데요. 나눠서 올릴 걸 그랬나

0<x<π/2에서 x > sinx라는 사실 아시겠죠.? 어... 죄송합니다 증명할게요...

기하적 증명으로 타협을 보겠습니다. 반지름의 길이가 1이고 중심각이 x인 부채꼴를 생각하면, 위와 같이 x>sinx임을 알 수 있습니다.

x>π/2일 때는 어떨까요? x>π/2>1≥sinx 입니다.
즉, 양의 실수 x에 대해 x>sinx입니다.

음의 실수 x에 대해서는 어떨까요?
x와 sinx는 기함수입니다.(Chapter 1 참고)
따라서, -x>sin(-x)이므로, -x>-sinx입니다.

x가 0일 때에는 sinx=x=0입니다.

우리는 방금, 모든 실수 x에 대해 |x|≥|sinx|라는 절대부등식을 증명해버렸습니다.

이제야, lim{h→0}sinh = 0임을 쉽게 보일 수 있겠군요. 그냥 모든 양의 실수 ε에 대해, δ도 ε이랑 똑같이 잡아주면,

끝! 극한의 엄밀한 정의.

lim{h→0}cosh = 1은 어떻게 보일까요. 흠 어떻게하지

h를 0을 포함하는 구간에서만 보아도 되므로 범위를 줄입시다. -π/2 < h < π/2 에서만 생각합시다.

이 범위에서 cosx>0입니다. 그러면 cosx를 이렇게 표현할 수 있겠네요.

범위 내에서 cosx는 양수니까 문제없어 보입니다.
그렇다면 코사인함수를 이렇게 합성함수로 보면 어떨까요?

그리고 조금 전의 정리를 끌어와서, 증명을 끝냅시다.

아까 전에 증명했던 그 정리

g는 0에서 연속이고, f는 1에서 연속이므로 무리 없이 가능합니다.
이렇게 cosh의 극한값이 1인게 우여곡절 끝에 증명됐습니다. 개인적으로 맘에 드네요.

드디어드디어

이 식이 모든 실수 x에 대해 참임을 증명했습니다.

그리고 그건 이 식이랑 같은 의미라고 했었죠?
마침내 sinx는 정의역(실수 전체)에서 연속임이 밝혀졌습니다.

코사인이 정의역(실수 전체)에서 연속임을 보이러 갑시다. 이제 이건 쉽겠죠?

쉽네요.

이제 tanx가 정의역에서 연속임을 보일 건데,
그거 끌어씁시다 그거
곱의 연속 법칙.

tanx = sinx/cosx입니다.
tanx의 정의역에 속하는 모든 실수 a에 대해 다음이 만족됩니다.

sinx는 a에서 연속이다.
cosx는 a에서 연속이다.
cos(a) ≠ 0.

또 어디서 많이 본 조건이죠? 곱의 연속 법칙을 사용할 수 있는 조건.
따라서 tanx는 정의역에 속하는 모든 실수 a에서 연속입니다.

tanx가 정의역에서 연속인 것도 보였습니다.
sec, csc, cot가 정의역에서 연속인 것은 패스하겠습니다. tanx가 정의역에서 연속인 것을 보일 때와 똑같습니다. 각각 1/cos, 1/sin, cos/sin이니깐요.

다음시간에는 제가 하고싶은 걸로 돌아오겠습니다.

아직 고등학생인 점
모든 풀이는 타이핑하면서 지어내는 뇌피셜인 점
으로 인해 오류가 있을 수 있으니 조언 감사히 받겠습니다.
또 질문 댓글 주시면 아는 선에서 최대한 답 드릴게요!

평균값 정리 증명 (Mean Value Theorem)

☆코즈☆ — Tue, 24 Jan 2023 10:07:44 +0900

평균값 정리는 순간변화율과 평균변화율을 매듭지으며, 다시 말해 도함수와 원시함수를 매듭짓습니다. 이는 수학적으로 의미가 큽니다. 실제로 다음번에 다룰 미적분학의 기본정리의 증명에서도 평균값 정리가 쓰입니다.

평균값 정리의 내용은 다음과 같습니다.

Calculus

한글로 표현하자면 다음을 의미합니다.

함수 f가

닫힌구간 [a, b]에서 연속이며,
열린구간 (a, b)에서 미분가능하면

이를 만족하는 c가 (a, b)에 존재한다.

물론 양변에 b-a를 곱해 다르게 표현하면, f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)를 만족하는 c가 (a, b)에 존재하는 것과도 같죠.

그럼 롤의 정리를 사용해 평균값 정리를 증명해보겠습니다.

점 A를 (a, f(a)), 점 B를 (b, f(b))라고 두겠습니다.

그러면 직선 AB의 방정식은 아래와 같이 표현됩니다.

이제 새로운 함수 h(x)를 아래와 같이 정의하겠습니다.

f(x)에서 직선 AB의 방정식을 뺀 꼴입니다. 즉 그래프적으로 표현하면 아래와 같은 상황이겠죠.

그러면 h(x)는 다음의 세 조건을 만족합니다.

함수 h는 [a, b]에서 연속이다. (∵ f가 연속이고, 직선의 방정식(일차함수)도 연속이므로, 이들의 차도 연속이다.)
함수 h는 (a, b)에서 미분가능하다. (∵ f가 미분가능하고, 직선의 방정식(일차함수)도 미분가능하므로, 이들의 차도 미분가능하다.
h(a)=0, h(b)=0.(∵ 상단의 그래프를 통해 직관적으로 알 수 있고, 실제로 값을 대입해도 그렇다.)

한편 조건 2에서 함수 h가 미분가능하다고 했는데, 그 도함수는 아래와 같음을 쉽게 알 수 있습니다.

이제 롤의 정리를 사용할 수 있습니다. 앞서 함수 h가 만족함을 보였던 세 조건이 바로 롤의 정리의 조건입니다.

따라서 롤의 정리에 의해 h'(c)=0인 c가 (a, b)에 존재합니다.

그런데 조금 전 h'(x)의 식에 c를 대입하면, 바로 위의 문장은 다시 이렇게 표현할 수 있습니다.

를 만족하는 c가 (a, b)에 존재한다.

이렇게 말이죠.

어라, 증명이 끝나버렸습니다. 보시다시피 생각보다 간단합니다. 원리를 이해하면 증명은 외우기 쉽습니다. 롤의 정리의 조건을 기억하고 있다면, 평균값 정리의 조건이 왜 저렇게 되는지 알 수 있을 겁니다.

롤의 정리를 사용할 수 있도록, 그래프의 양 끝점을 잇는 직선을 원래 함수에서 뺌으로써, 양 끝점에서의 함숫값이 같은 새로운 함수를 만들어버리죠. 그래서 평균값 정리에서는 롤의 정리와 달리 구간 양 끝점에서의 함숫값이 같을 필요가 없습니다.

질문환영!ㅇ!

롤의 정리 증명 (Rolle's Theorem)

☆코즈☆ — Mon, 23 Jan 2023 22:28:37 +0900

롤의 정리는 증명이 간단하면서도 평균값 정리나 로피탈의 정리 등 다양한 정리들의 증명에 잘 사용되니 알아두시면 유용하리라 기대됩니다. 롤의 정리의 증명에는 페르마의 정리가 사용되는데, 이것은 이전 글에 증명해 두었습니다.

롤의 정리는 다음과 같습니다.

Calculus

즉, 함수 f가 다음 세 조건을 만족할 때,

f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고
f가 열린구간 (a, b)에서 미분가능하며
f(a) = f(b).

f'(c)=0을 만족하는 c가 열린구간 (a, b)에 존재한다는 의미입니다.

세 가지 경우로 나누어서 증명하겠습니다.

1. f(x) = k, 상수일 때 (f가 상수함수일 때)

열린구간 (a,b) 전체에서 f'(x)=0이므로, c에는 구간 내의 아무 값이나 가져와도 롤의 정리에 부합합니다.

2. 열린구간 (a, b)에 속하는 어떤 x에 대해, f(x) > f(a)일 때

예시로는 이런 상황입니다.

f가 조건에 의해 닫힌구간 [a, b]에서 연속이므로, 최대·최소 정리에 의해 f는 [a, b]에서 최댓값 f(c)를 갖습니다.

그런데 조건에 의해 f(a)=f(b)이고, f(x)>f(a)를 만족하는 어떤 x가 열린구간 (a,b)에 존재하므로, c는 최소한 a나 b는 아닐 것입니다.

다시 말해 f는 (a, b)에서 최댓값 c를 가집니다. (닫힌구간이 열린구간으로 바뀐 것을 알 수 있습니다!)

그러면, f가 c에서 극댓값을 가지며(모든 최댓값은 극댓값입니다. 이전 글에서 설명한 정의를 잘 살펴보면 알 수 있습니다.),

조건에 의해 f는 (a,b)에서 미분가능하므로,

페르마의 정리에 의해 f'(c)=0입니다.

3. 열린구간 (a, b)에 속하는 어떤 x에 대해, f(x) < f(a)일 때

예시로는 이런 상황입니다.

2번 경우에서 부호만 반대이고 비슷합니다.

f가 [a, b]에서 연속이므로, 최대·최소 정리에 의해 f는 [a, b]에서 최솟값 f(c)를 갖습니다.

그런데 f(a)=f(b)이고, f(x)<f(a)를 만족하는 어떤 x가 (a,b)에 존재하므로, c는 a나 b와는 같아질 수 없습니다.

즉 f는 (a, b)에서 최솟값 c를 가집니다.

그러면, f가 c에서 극솟값을 가지며 조건에 의해 f는 (a,b)에서 미분가능하므로, 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0입니다.

물론 위와 같은 경우에서도 똑같습니다. 다만 2번 경우와 3번 경우를 둘 다 만족하고 있을 뿐입니다.

자연스럽게 f'(c)=0을 만족하는 c의 값으로 가능한 것도 최소 두 가지 이상이 보장되겠죠.

다음 글에서는 이번에 증명한 롤의 정리를 이용하여 평균값 정리를 증명하겠습니다.

페르마의 정리 증명 (Fermat's Theorem) + 최대, 극대, 임계값의 개념

☆코즈☆ — Mon, 23 Jan 2023 18:14:39 +0900

페르마의 정리는 다음 글에 설명할 롤의 정리의 증명에 사용되며, 롤의 정리는 다시 미적분학에서 매우 중요한 정리 중 하나인 평균값 정리(MVT)의 증명으로까지 이어집니다. 따라서 이번 글에서 페르마의 정리의 증명을 다루겠습니다.

페르마의 정리는 위와 같습니다. f가 c에서 극댓값 혹은 극솟값을 가지며 f'(c)가 존재할 때, 그때의 f'(c) 값이 0이라는 뜻입니다.

이를 증명하기 이전에 극대/극솟값의 정의를 먼저 살피고, 페르마의 정리의 증명에 이용되는 최대·최소 정리까지 살펴봅시다.

먼저 최댓값과 최솟값(absolute maximum/minimum)은 말 그대로 함수의 정의역 전체에서 가장 크고 작은 값을 의미합니다.

Calculus에서는 위와 같이 설명하고 있습니다. D는 정의역입니다.

정의역에 속하는 모든 x에 대해 f(c)≥f(x)일 때 f(c)가 최댓값이고, 최솟값은 부호가 반대입니다.

반면 극댓값과 극솟값(local maximum/minimum)은 함수의 전체가 아닌 일부에서 가장 크고 작은 값을 의미합니다. 다시 말해, c가 극댓값을 가지면, x가 c 근처일 때(즉, c를 포함하는 어떤 열린구간에 x가 속할 때), f(c)≥f(x)입니다. 극솟값은 부호가 반대이고요.

이제 최대·최소 정리를 살펴보겠습니다. 간단히 말해, 닫힌구간 [a, b]에서 함수 f가 연속이면, f는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다는 의미입니다.

위와 같습니다. f(c)가 최댓값, f(d)가 최솟값입니다. 물론 c와 d는 [a, b]에 포함됩니다. 증명하려면 콤팩트성에 대해 다루어야 하므로 생략하겠습니다. 일단은 참이라고 가정합시다.

이제 페르마의 정리를 증명합시다. 우선 f가 c에서 극댓값을 가질 때를 증명하겠습니다.

f(c)가 극댓값이므로, h가 충분히 0에 가깝다면, 다음을 만족합니다.

물론 h의 부호와 무관하게 성립하는 식입니다.

앞선 식은 다시 위와 같이 표현할 수 있습니다.

이제 h의 부호에 따라 생각해보겠습니다.

h>0일 때에는, 다음이 성립합니다.

부등식의 양변에 h→0 극한(h>0이므로, 우극한)을 취하면

이를 만족합니다.

h<0일 때에는, 다음이 성립합니다.

부등식의 양변에 h→0 극한(h<0이므로, 좌극한)을 취하면

이를 만족합니다.

정리하자면, 다음 두 부등식이 만족됨을 알 수 있습니다.

그런데 f'(c)가 존재한다고 가정했으므로, 좌극한과 우극한은 같아야 합니다. 즉,

위의 등식이 성립해야 합니다.

따라서, f'(c)≥0이고 그와 동시에 f'(c)≤0이므로 f'(c)=0임을 알 수 있습니다.

f가 c에서 극솟값을 가질 때에도 증명 과정은 크게 다르지 않습니다.

위와 같이 부등호가 반대 방향인 새로운 부등식을 얻을 수 있고, 이후로는 극댓값을 가질 때의 증명과 유사하게 이어가시면 되겠습니다.

한편 이때의 c는 임계값(critical number)이기도 합니다.

위 증명에서 등장한 c처럼 f'(c)=0를 만족하거나, 혹은 아예 f'(c)가 존재하지 않을 때, c를 임계값이라고 부릅니다. (c는 f의 정의역에 속해야 합니다.)

그러니까 페르마의 정리는,

f가 c에서 극댓값 혹은 극솟값을 가진다면, c는 f의 임계값이다.

라는 말로도 표현됩니다. f가 c에서 극댓값 혹을 극솟값을 가질 때,

f'(c)가 존재하지 않는다면 그 자체로 c는 임계값이고,

존재한다면 페르마의 정리에 의해 f'(c)=0이므로 역시나 c는 임계값입니다.

임계값의 개념을 알았으므로 어떤 구간에서의 최댓값과 최솟값을 찾는 법을 이제 살펴볼 수 있습니다.

닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수 f의 최댓값을 찾으려면 다음 과정을 거치면 됩니다.

열린구간 (a,b)에서 f의 임곗값의 함숫값을 찾는다.
구간의 양 끝점의 함숫값(f(a)와 f(b))를 찾는다.
위에서 찾은 값 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.

다음 글에서는 롤의 정리를 증명하겠습니다.

질문환영

극한 법칙의 엄밀한 증명(엡실론-델타 논법) - 합과 차의 법칙

rootiManager — Mon, 23 Jan 2023 15:59:10 +0900

Calculus에서 가장 먼저, 기본으로 다루어지는 극한 법칙 다섯 가지 중 합과 차의 법칙(1, 2)를 이번 글에서 증명하도록 하겠습니다.

위 이미지에서 언급되었듯, x가 a로 접근할 때의 f(x)와 g(x)의 극한값은 존재한다고 가정합니다. 아래 증명에서는 이 극한값을 각각 F, G라고 하겠습니다.

1. 합의 법칙

위 두 줄은 'x가 a로 접근할 때의 f(x)와 g(x)의 극한값이 각각 F와 G'라는 전제를 엡실론-델타 논법으로 표현한 것입니다. 이미 가정한 내용이므로 이는 성립합니다.

혹여나 일러두자면, ∀은 '모든 ~에 대해', ∃은 '존재한다.', s.t.는 '다음을 만족하는' 이라는 뜻입니다.

이제 모든 양의 실수 ε에 대해 δ를 다음과 같이 채택하겠습니다.

min은 최소함수입니다. 즉, δ을 δ₁과 δ₂ 중 더 작은 값으로 설정하겠다는 의미입니다. 다시 말해,

위의 부등식을 성립하게 만드려는 목적입니다.

그러면, 만약 다음이 성립한다고 가정합시다.

그러면 앞선 부등식에 의해, 아래 두 식도 자연스럽게 성립합니다.

그러면 아까 언급했던 전제에 의해, 다음 두 부등식이 모두 성립합니다.

이 부등식들을 ①이라고 두겠습니다.

한편 삼각부등식을 사용하면 위와 같은 부등식 관계를 얻을 수 있습니다.

삼각부등식은 아래와 같은 부등식 관계를 말하는데, 보편적으로 쓰이므로 여기서 증명하지는 않겠습니다.

그런데 ①에 의해, 아래 등식이 성립합니다.

즉, 최종적으로, 아래와 같은 등식이 성립합니다.

정리하자면 다음과 같습니다.

따라서, 극한의 엄밀한 정의에 의해 x가 a로 접근할 때의 f(x)+g(x)의 극한값은 F+G와 같습니다.

2. 차의 법칙

차의 법칙은 합의 법칙과 크게 다르지 않습니다.

마찬가지로 삼각부등식을 사용해 얻은 위 부등식 관계를 이용해 동일하게 증명하면 됩니다. |G-g(x)|는 당연히 |g(x)-G|와 같으므로, 앞선 증명에서와 다를 것이 없음을 알 수 있습니다.

다음번에 곱의 증명을 다루겠습니다.

생성자( Constructor ), 변수 유효 범위

깨달은도영 — Mon, 23 Jan 2023 14:23:48 +0900

전에 배운 선언과 동시에 인스턴스화를 할 때 어떻게 하였는가?

생성자의 개념

그런데 뒤에 (클래스명) ( ); 이게 무엇일까? 메서드 같기도 하고..

그런데 클래스명과 같은 이름을 가지는 메서드인가??

이것이 지금 배울 '생성자'라는 것이다. 생성자란 클래스를 생성할 때 사용하는

Person(), Burger()과 같은 메서드를 의미하고 이들이 하는 일은 클래스를 처음 만들 때 멤버 변수를 초기화하는 것이다.

변수 유효 범위

Do it! 자바프로그래밍 입문(박은종), 6-4 변수 유효 범위

이번 기회에 변수 유효 범위에 대해서도 알아보면 되겠다 ^^

디폴트 생성자( Default Constructor )

Person(), Burger() 와 같이 괄호 안에 아무것도 넣지 않은 생성자를 디폴트 생성자라고 한다.

정확히 말하면 각 클래스에 생성자에 관한 내용을 아무것도 적지 않더라도 기본적으로 자바 컴파일러에서 만들어주는 생성자라고 하여 디폴트 생성자라고 부르는 것이다.

물론 public Person() {} 을 통해서 디폴트 생성자의 꼴을 적어줘도 상관이 없다.

생성자 만들기

생성자의 개념에 대해 알아볼 때 설명을 한 것처럼 생성자는 클래스의 모양을 가진 인스턴스 내부에 가지고 있는 멤버변수(인스턴스 변수)를 초기화해주는 메서드로, 디폴트 생성자의 경우 인스턴스 변수의 데이터 타입별로 초기화가 되고 우리가 직접 생성자를 만들 때 특정한 하나의 값으로 초기화를 하고 싶다면 생성자를 직접 만들면 되는 것이다.

생성자를 만들 때 주의할 점 : 앞에서도 알 수 있듯이 클래스의 이름과 같아야 하고 반환값이 없다.

( 수정사항 --> String[ ] coupons = new String[2]; )

여기서 this는 this 예약어라고 부르며 "지금 이 순간", 만들어지고 있는 "인스턴스" 그 자체를 의미한다. 즉, 자신의 메모리에 접근한다는 것이다.( this 예약어는 나중에 다시 다룰 것이다.)

생성자를 활용하면 코드가 훨씬 간단해지는 것을 알 수 있다.

생성자 사용 전	생성자 사용 후

도트 연산자 (dot operator)

깨달은도영 — Mon, 23 Jan 2023 14:12:25 +0900

도트 연산자

우선 우리가 저번에 만든 인스턴스들에 값을 집어넣는 방법을 코드로 보자.

(Class 이름) (참조변수 이름) = new (Class 이름) (); 을 통해서 선언 밑 초기화를 하고

각 클래스들이 들고 있는 멤버 변수(인스턴스 변수)에 어떤 값을 집어넣기 위해

(클래스명) ' . ' (변수명)을 하는 것을 볼 수 있다.

(멤버변수라는 용어는 변수 유효 범위 파트에서 설명할 것이다.)

이때 ' . ' 가 도트 연산자이며 간단하게 그 인스턴스의 변수 혹은 메서드에 접근하기 위함이라고 이해하면 된다.

각 인스턴스들이 가지고 있는 멤버변수 임이 중요하다.

버블 정렬 (코드업 1441: 버블 정렬)

☆코즈☆ — Sat, 21 Jan 2023 18:23:45 +0900

버블 정렬 알고리즘은 매우 비효율적이며 시간이 오래 걸리는 알고리즘이지만, 이해하기 쉽고 직관적이어서 첫 번째로 가져왔습니다.

버블 정렬을 헝가리 무용으로 표현한 영상입니다.

오름차순으로 정렬하려는 상황을 생각하겠습니다.

1번째와 2번째 원소를 먼저 비교합니다. 2번째 원소가 1번째 원소보다 더 크면 서로를 바꿉니다.
2번째와 3번째, ... n-1번째와 n번째까지 계속 이것을 수행합니다. 이 과정을 시행 1회라고 부르겠습니다.

그리고 위 시행을 n번 반복하면 됩니다.
하지만, 횟수를 더 줄이려면, 1번째 시행에서는 n번째까지, 2번째 시행에서는 n-1번째까지, ... , n-1번째 시행에서는 2번째까지만 탐색(크기 비교 및 교체)해도 됩니다.

왜냐하면, 버블 정렬은 앞에서부터 차례대로 연속된 두 원소를 훑으면서 둘 중에 더 큰 값을 뒤쪽으로 계속 떠넘기기 때문에, 1회의 시행이 끝나면 시행한 구간에서 최댓값은 가장 뒤쪽에 있는 것이 보장되기 때문입니다. 예를 들어 설명하자면,

4 3 1 2

위 데이터에 시행을 한 번 거치면

4 3 1 2 → 3 4 1 2 → 3 1 4 2 → 3 1 2 4

위와 같이 위치가 바뀝니다. 화살표 한 번이 탐색(크기 비교 및 교체) 한 번이니, 세 번의 탐색이 있었습니다.
아직 정렬이 완료되진 않았지만, 데이터에서 가장 큰 값이었던 4는 가장 뒤로 갔습니다. 따라서 다음 시행은 1번째와 2번째 원소 탐색, 2번째와 3번째 원소 탐색만 하면 됩니다. 3번째와 4번째는 이미 4번째가 더 큼을 알고 있으니까요.

그럼 버블 정렬을 마저 계속해보겠습니다.

두 번째 시행에서는 두 번의 탐색을 합니다.

1 3 2 4 → 1 2 3 4 → 1 2 3 4

이미 정렬이 끝났는데도 계속 탐색을 하고 있음을 알 수 있습니다.

세 번째 시행에서는 한 번의 탐색을 합니다.

1 2 3 4 → 1 2 3 4

역시나 데이터는 이미 정렬되었는데 버블 정렬 알고리즘이 끝나지 않습니다.

이를 해결하려면, 시행이 한 번 이루어질 때마다 정렬이 완료하였는지 검사하는 코드가 필요합니다. (탐색 한 번마다 검사하는 것은 오히려 시간이 오래 걸립니다.) 이 코드는 생략하겠습니다. (배열 전체를 앞쪽에서부터 훑으면서 i번째 원소보다 i+1번째 원소가 더 작은 상황이 있는지 확인하면 됩니다. 그렇다면 아직 내림차순인 구간이 있다는 것이니까요.)

그럼 버블 정렬을 C 코드로 만들어보겠습니다.

#include <stdio.h>

int a[10001];
int n, i, j, temp;

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (i=1; i<=n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);

    for (i=1; i<n; i++) {
        for (j=1; j<n; j++) {
            if (a[j] > a[j+1]) {
                temp = a[j];
                a[j] = a[j+1];
                a[j+1] = temp;
            }
        }
    }

    for (i=1; i<=n; i++)
        printf("%d\n", a[i]);
    return 0;
}

코드업의 1441번 문제, 버블 정렬입니다. 원 문제에서는 빈 칸만 작성하게 되어있으므로, for(j=1; ~ 부분만이 답입니다.

모쪼록 이 코드를 해설해보겠습니다. a[1]부터 a[n]까지 데이터가 담겨 있습니다. 여기서 버블 정렬 코드는 이중 for문 부분입니다. i를 반복하는 for문이 시행의 반복이고, j를 반복하는 for문이 탐색의 반복입니다.

temp는 무슨 역할일까요? 비유적으로 두 병에 들어있는 주스를 서로 바꾼다고 생각해봅시다. 그러면 빈 병이 필요합니다. 오렌지 주스 병에 든 오렌지 주스를 빈 병에 옮겨담고, 포도 주스 병에 든 포도 주스를 오렌지 주스 병에 옮겨담고, 빈 병에 든 오렌지 주스를 포도 주스 병에 옮겨담습니다. 그러면 최종적으로 두 병의 내용물이 바뀌죠. 여기서 temp는 빈 병의 역할입니다. 배열의 두 원소를 바꾸기 위해 잠시 값을 옮겨둘 빈 공간이죠.

앞서 언급했듯, 탐색은 항상 n번 할 필요는 없습니다.
1번째 시행에서는 n번째까지,
2번째 시행에서는 n-1번째까지,
...
i번째 시행에서는 n-i+1번째까지 탐색해도 됩니다. 따라서 아래 코드는

for (j=1; j<n; j++) {

다음처럼 바꾸면 더 빠른 속도로 정렬할 수 있습니다.

for (j=1; j<n-i; j++) {

선택 정렬이나 삽입 정렬은 실제 쓰일 일이 거의 없으므로 우선은 다루지 않겠습니다. (버블 정렬도 실제로는 잘 안 쓰지만, 정렬의 소개차 가져왔습니다.) 이것의 설명을 원하시거나 질문이 있으시다면 댓글 부탁드립니다.

알고리즘 : 문제를 해결하는 가장 좋은 방법이 무엇일까

☆코즈☆ — Sat, 21 Jan 2023 10:59:03 +0900

Introduction

알고리즘은 문제를 해결하기 위한 일련의 절차를 의미합니다. 특히 컴퓨터과학에서 많이 쓰이는 용어이기도 하죠. 프로그래밍에서의 알고리즘은 대개 일반화된 문제들에 대해 이미 정형화되어 명명된 절차를 일컫습니다. 어떤 문제를 해결할 수 있는 알고리즘이 여러 개 있을 수 있고, 또 하나의 문제를 해결하는 데에 여러 알고리즘이 쓰이기도 합니다. 문제에 대응하는 적합한 알고리즘의 선택은 연산 시간을 획기적으로 단축해 주거나 혹은 문제에 대한 해답의 정확도를 높여주기도 합니다.

지금부터

이 강의에서는 이들의 매커니즘을 소개하고 실제 코드를 통해 풀어내 보려 합니다. 온라인 프로그래밍 저지 사이트(백준, 혹은 코드업)의 문제를 예제로 참조하겠습니다.

Route, 2

깨달은도영 — Thu, 19 Jan 2023 23:34:46 +0900

In-Game

모바일 게임의 핵심이라고 할 수 있는 로컬 저장소 저장을 드디어 구현하게 되었습니다.
Json을 활용하여 저장 및 불러오기 기능을 구현하였으며 GameOver시 로컬저장소의 지정된
위치에 저장할 수 있도록 하였습니다.
기본적인 점수 시스템은 현재 점수가 최고점수보다 크다면 갱신되는 방식입니다.

Later

기본적으로 Dictionary의 형태로 저장되는 Json의 형식은 보안에 취약합니다.
그렇기 때문에 UTF-8 변환 등을 포함한 여러 변환을 통해 암호화를 할 예정입니다.
물론 Load의 과정에서 다시 복호화하는 로직도 구현할 예정입니다.

Squirrel.zip

17.34MB

내 Class 사용 설명서 :인스턴스화, 참조변수

깨달은도영 — Thu, 19 Jan 2023 16:16:33 +0900

이제 앞에서 설명한 클래스를 어떻게 사용할 것인지에 대해 알아보자.

참조변수( Reference Variable )

클래스 하나가 다음과 같이 존재한다고 하자.

( 수정사항 --> String[ ] coupons = new String[2]; )

이렇게 설계도를 만들었으니 이들을 사용해 보자. 이때 참조변수와 인스턴스화가 필요하다.

위 코드에서 A,B,whopper_Set, janmang_Loopy 가 각각 '참조변수'이다. 설계도가 만들어져 있으니 설계도를 그대로 사용하는 여러 인스턴스들을 만든 것이다. 여기서 인스턴스라는 단어가 나오는데... 인스턴스는 한국어로 '객체'이다.

하지만 나는 '인스턴스' 와 '객체'를 다른 의미로 사용할 것이다.

( 참고한 책에서 그렇게 배웠습니다. "교과서 위주로 공부했어요" )

Person{} 와 Burger{} 라는 각각의 클래스를 동치로 '객체' 이라고 부를 것이고,

A,B,whopper_Set, janmang_Loopy 와같은 참조변수들로 만들어진 한 덩어리를 '인스턴스'

라고 부를것이다.

Do it! 자바프로그래밍 입문(박은종), 5-4 클래스와 객체

Person A라는 코드는 우리가 평소에 정수 a를 '선언' 할때 int a 를 적는것과 똑같이 생각해 주면 된다. 즉, Person 이라는 Class와 똑같이 생긴 A 라는 인스턴스를 선언하는 코드가 바로 Person A이다. (Class 이름) (참조변수 이름)의 형식으로 선언을 한다.

그러면 그 뒤의 new Person(); 은 무엇일까?

인스턴스화( Instantiate )

선언만 하고 끝나면 안 되지 않을까? 우리가 새해 계획을 세우고 실행을 안 하면 의미가 없는 것과 같은 이치이다 ㅋ.

실제로 컴퓨터에게 "우리가 이것을 사용할 것이니 그에 맞는 메모리를 할당해 주어라!" 라고 하는 것을 인스턴스화 라고 한다. 즉, 인스턴스를 메모리에 올린다고 해서 인스턴스'화' 인 것이다.

설계도와 같은 형식(체계)을 가지면서 새로운 하나의 인스턴스를 만든다고 하여 'new'를 붙이고

뒤에 클래스 이름을 다시 붙여주면 된다.

( 후에 생성자라는 개념을 배우면 더 자세히 공부할 수 있다. )

(Class 이름) (참조변수 이름) --> 선언

= new (Class 이름) (); --> 인스턴스화

(Class 이름) (참조변수 이름) = new (Class 이름) (); --> 선언과 동시에 인스턴스화

- 엄청난 정리

잔망루피

C#에서의 인스턴스화 (망상)

아직 자바에 대해 공부하고 있는 중이기 때문에 신뢰성 0%의 말이니 유의 바란다.

게임을 개발하기 위해 C#을 사용할 때 물론 하나의 스크립트를 만들어 여러 오브젝트에

대응시키기 위해 하나의 클래스를 만들고 여러 메모리를 할당시킨다. 이것은 자바와

다를 것이 없지만, 여러 오브젝트 사이의 실시간 상호작용을 위해 다른 메모리에 직접

바로바로 접근을 해야 하므로 여기서 차이가 생긴다. 본 글에서의 예시 코드에서도

Test라는 클래스에서 Person , Burger라는 각 클래스의 인스턴스를 참조변수를 통해

새로이 만들고 메모리도 할당시켰다.

하지만 게임개발을 할 때는 이렇게 새로운 클래스를 계속 만드는 것뿐만 아니라 이미

만들어진 메모리에 있는 값을 여러 클래스에서 접근하여 바꿀 수 있다는 차이점이 있다.

이렇게 다른 오브젝트의 정보에 접근하고 수정할 수 있게 하는 함수가 바로

GetComponent< >();	- 특정 Object의 Component에 접근하기 위해서 사용 - 이 스크립트를 넣을 오브젝트의 컴포넌트에 접근
FindObjectOfType< >();	- 특정 Object 자체에 접근하기 위해서 사용 - 그 스크립트를 들고있는 오브젝트에게 접근

이다.

객체지향의 꽃 Class

깨달은도영 — Thu, 19 Jan 2023 15:35:21 +0900

Class의 개념

하나의 설계도를 만든다고 생각하면 된다. 객체지향과 절차지향의 설명을 할 때 곁들였던

버X킹 주문 프로그램을 통해서 Class, 객체의 개념을 알아보자!

버X킹에서 A 씨가 불고기 와퍼 세트를 주문한다고 하면, A 씨에 대한 정보와

불고기 와퍼 세트에 대한 정보가 필요할 것이다.

A씨를 한번 분석해 볼까??

A씨 :

멤버십 등급 : WHOPPER / 쿠폰 소유 : 아.아 무료쿠폰 / ID : 12345678

불고기 와퍼 세트에 대한 정보를 분석해 보자

불고기 와퍼 세트 :

이름 : 불고기 와퍼 세트 / 가격 : 8900 / 할인율 : 30%

이제 이들을 다시한번 생각해 볼까? 이 세상에는 A 씨 말고도 B, C, D 씨도 있다.

그런데 이들도 멤버십 등급, 쿠폰 소유, ID 등을 공통으로 가지고 있지 않을까?

버거도 마찬가지 이다. 다른 제품들도 이름, 가격, 할인율을 당연히 공통으로 가지고 있다.

새로운 사람 혹은 제품이 추가될 때마다 새로운 체계를 만들 필요가 없다는 것이다.

이 글의 가장 초반에 말한 설계도의 개념이 바로 이것이다.

<소비자>라는 하나의 설계도를 만들어 멤버십 등급, 쿠폰 소유, ID 등의 정보를 담을 수 있는

변수를 지정해주고 <버X킹 제품> 이라는 하나의 설계도 또한 이렇게 만들자.

그러면 이 하나의 설계도를 가지고 비슷한 특성을 가진 것들을 여러 개 만들 수 있다.

이 방법으로 클래스를 쉽게 이해해 보자!

벅어킹

(Procedural || Object-Oriented) Programming

깨달은도영 — Thu, 19 Jan 2023 15:10:36 +0900

절차지향 (Procedural Programming)

대표적 언어 :

특징 :

그 이름 그대로 "절차"가 중요함. MBTI의 J의 성향 100%, 코드의 순서를 매우 중요하게 여김

장점 :

컴퓨터의 정보 처리과정과 유사하여 그 속도가 빠름

단점 :

일단 객체지향보다 뭐가 좋은지 잘 모르겠음 ( 지극히 개인적인 주관입니다. ) ,

유지보수가 어려움, 순서를 너무 중요시하다 보니 play it by ear를 못함; 언어의 융통성이 없음

객체지향 ( Object-Oriented Programming )

대표적 언어 :

C#, Java 등등

특징 :

그 이름 그대로 "객체"가 중요함. 근데 이 객체라는 게 상당히 편한 것이, 예를 들어서 버X킹에서

음식을 주문받는 프로그램을 만들고 싶다고 하자. 그러면 그 소비자의 정보( 멤버십, 가지고 있는 쿠폰, 소비자 ID 등등 ), 주문한 버거의 정보( 이름, 가격, 할인율, 재료 등등 )를 각각의 "객체"로 만들어서 그 객체를 따로따로 만드는 거임.

얼마나 좋습니까?!

장점 :

유지보수가 깔끔함( 각 객체들이 구분되어 있어서 눈에 잘 보임 ), 세상에 존재하는 모습 그대로 객체를 만들어 프로그래밍이 가능해 직관적임(유지보수와 이유가 비슷), 하나를 만들어 놓으면 정말 다양하게 사용할 수 있음

단점 :

절차지향보다 처리 속도가 느림, 개발할 때 많은 시간이 사용됨, 좀 어려울 수도 있음

자, 너도 외쳐라 객체 최고! 객체 최고!

객체의 악마

자바를 잡아볼까나?

깨달은도영 — Thu, 19 Jan 2023 00:57:47 +0900

Introduction

음음, 제가 Java를 공부하며 C#과 비슷한 것을 정말 많이 봤어요!

그래서 게임개발을 하며 얻을 수 있는 여러 문법적 어려움들을 자바의 문법과 비교해 가며 공부하는 거, 나쁘지 않다고 여겨 카테고리를 만들어 봅니다. 틀린 말, 이상한 말을 할 수도 있어요! 틀린 내용이 있다면 많은 비판과 댓글 부탁드립니다!

주의할 점

자바 문법의 전체를 다루지는 않을 것입니다. ( 자료형, 반복문, 조건문 등 너무나 당연한 것들 )

C#과 Java를 비교, 대조하며 게임을 개발하며 중요하다고 느꼈던 문법들을 정리할 예정입니다.

즉, 객체지향에 대한 내용을 주로 하지 않을까..! 합니다.

참고한 책은 < Do it! 자바프로그래밍 입문(박은종) > , < 자바의 정석(남궁성) >입니다.

지금부터

혼자 공부하며 정리하는 안 쓸쓸한 정리노트 시작합니다.

Route, 1

☆코즈☆ — Wed, 18 Jan 2023 12:48:11 +0900

In-Game

두 공에 각각 다람쥐 이미지가, 막대에 덩굴 이미지가 도트 그래픽으로 입혀졌습니다.
두 다람쥐가 덩굴로 Joint되어 유기적으로 움직입니다.
클릭할 시 다람쥐가 고정(Static)되며, 다시 클릭할 시 해제되고(Dynamic), 또 다시 클릭하면 다른 다람쥐가 고정됩니다.
고정된 다람쥐가 테두리 굵기를 통해 표시됩니다.
고정된 다람쥐를 카메라가 따라갑니다.
다람쥐 그룹의 현재 위치 아래쪽으로 장애물 프리팹을 임의로 가져옵니다. 이때 점수에 비례하여 어려운 장애물이 나올 확률이 높아집니다.

UI

게임 화면 상단에서 현재 점수와 최고 점수를 볼 수 있습니다. 점수는 다람쥐 그룹이 내려간 거리에 비례합니다.
메인 화면이 만들어졌습니다. 이곳에서 무한 모드와 스토리 모드를 선택할 수 있으며, 최고 점수를 확인할 수 있습니다.
로딩 화면이 만들어졌습니다.
메뉴 화면이 만들어졌습니다. 게임 화면의 오른쪽 상단의 일시정지 버튼을 통해 진입할 수 있으며, 계속하기, 다시하기, 설정, 종료 기능이 있습니다.
메인 화면, 게임 화면, 메뉴 화면에 사용되는 버튼들에 도트 그래픽 이미지가 입혀졌습니다.
게임 전반에 사용될 글꼴이 만들어졌습니다.

Squirrel_Beta.apk

18.07MB

소개

rootiManager — Thu, 12 Jan 2023 22:07:25 +0900

rooti는 2022년 12월 30일 결성되었습니다.

rooti는 과학고등학교의 학생 네 명이서 안드로이드 및 PC 게임을 개발하고자, 뜻을 모아 22년 말에 결성되었습니다.

√ 는 구하기 쉽습니다.

rooti의 이름은 수학 기호인 제곱근 √과 허수단위 에서 따왔습니다. 이것은 한 경험에서 비롯됩니다.
"√ 의 값은 무엇일까?" 라는 질문.
제곱근 -1에 다시 제곱근을 씌운 값, 선뜻 계산을 시도하기에는 힘들어 보입니다. 그러나 두려워 않고 살피면, 값을 찾는 것은 굉장히 쉽습니다.

우리 팀이 0과 1을 사용해 앞으로 만들어갈 세상도 그럴 겁니다. 어려워 보이지만, 두려워하지 않는다면 쉬울 겁니다. 그리고 우리는 두렵지 않습니다.