포함배제의 원리

• 포함배제의 원리

포함배제의 원리는 집합에서 주로 사용된다. 하지만 경우의 수를 구할 때도 사용된다. 예제를 통해 포함배제의 원리가 무엇인지 알아보도록 하자

 

• 예제) 1~9의 숫자로 구성된 세 자리 자연수 중 적어도 하나의 1이 포함되어 있는 경우의 수를 구하시오.

쉽게 생각해보면 백의 자리 숫자가 1일 경우, 십의 자리 숫자가 1일 경우, 일의 자리 숫자가 1일 경우를 전부 세어서 더하면 된다. 하지만 이렇게 계산하면 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 모두 1인 경우 등 중복되는 경우가 생긴다. 포함배제의 원리는 이러한 중복되는 경우를 빼고 더하면서 경우의 수를 구하는 방법을 말한다.

백의 자리 숫자가 1일경우, 십의 자리 숫자가 1일 경우, 일의 자리 숫자가 1일 경우를 벤다이어그램으로 표현해 보면 위의 그림과 같다.

포함배제의 원리에 따라

{(백의 자리가 1인 경우의 수)+(십의 자리가 1인 경우의 수)+(일의 자리가 1인 경우의 수)} - {(십, 백의 자리가 1인 경우의 수)+(일, 백의 자리가 1인 경우의 수)+(일, 십의 자리가 1인 경우의 수)}+{(일,십,백의 자리가 1인 경우의 수)}

로 계산하면 된다.

백의 자리가 1인 경우의 수: 9×9=81가지

십의 자리가 1인 경우의 수: 9×9=81가지

일의 자리가 1인 경우의 수: 9×9=81가지

십, 백의 자리가 1인 경우의 수: 9가지

일, 백의 자리가 1인 경우의 수: 9가지

일, 십의 자리가 1인 경우의 수: 9가지

일, 십, 백의 자리가 1인 경우의 수: 1가지

 

따라서 243-27+1=217가지이다.

 

• 포함배제 원리의 증명

이는 인터넷의 조사해 보면 크게 3가지의 방법이 나오지만 경우의 수보다는 집합에 더 가까우므로 생략하겠다.