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미적분의 두 기본정리가 중요하다는 것을 또 짚고 넘어가지는 않겠습니다. 거두절미하고, 두 번째 정리는 아래와 같습니다. 첫 번째 정리는 부정적분에 대해서 설명했고, 두 번째 정리는 정적분에 대해 설명합니다. 이 정리는 역사적으로도 매우 뜻깊습니다. 어떤 구역의 넓이를 구한다는 것은 굉장히 중요한 일입니다. 고대 사회에서부터 이는 마찬가지였고, 토지의 넓이를 구하는 등의 이유로 말이죠. 그런데 과거에 넓이를 구했던 방법은, 현재로 치면 '구분구적법'에 가깝습니다. 구역을 매우 잘게 쪼개서, 그것들의 넓이를 모두 합하는 것이죠. 그 구역이 복잡한 형태였다면 더 힘들 일이 되었을 테고, 보다 정확한 넓이 계산을 위해서는 더 잘게 잘라야 하므로 보통 고역이 아니었습니다. 그런데 이제 적분이라는 개념이 등장합니다..

'기본'이라는 단어는 모든 것의 시작이 됩니다. 미적분의 기본정리는 미분과 적분이라는 대학수학의 두 꽃을 연결짓는 시초이며, 미적분학의 가장 중요한 정리라고 해도 과언이 아니죠. 미적분학의 기본 정리는 두 가지가 있으며, 그 중 첫 번째 정리가 이것입니다. f가 [a,b]에서 연속일 때, g를 다음과 같이 정의하면, g는 [a,b]에서 연속이며 (a,b)에서 미분가능하고, g'(x)=f(x)입니다. 라는 것이 이 정리의 내용입니다. 이것은 다시 위 식과도 똑같은 의미입니다. 간단하게 말해, 부정적분하고 미분하면 원래 함수라는 뜻입니다. 이제 이것을 증명합시다. 우선 (a, b)에 속하는 x에 대해, x+h도 (a, b)에 속하는 h가 존재하겠죠. (단 h가 0은 될 수 없습니다.) 그러면, 앞서 정의한 ..

함수 f가 a에서 연속임은 다음과 같이 정의됩니다. 이 정의는, f가 a에서 연속이기 위해서 다음 세 조건이 요구됨을 알려줍니다. f(a)가 정의된다.(a가 f의 정의역에 속한다.) x가 a로 접근할 때의 f(x)의 극한값이 존재한다. 1에서의 f(a)가 2에서의 극한값과 같다. 한편, 한쪽 방향의 극한값만이 함숫값과 같다면, 그 방향으로만 연속입니다. 다시 말해, 위와 같이 우극한이 f(a)와 같다면, 'f는 a에서 오른쪽으로부터 연속이다'라고 말합니다. 좌극한이 같다면, 왼쪽으로부터 연속이겠죠. 물론 좌극한과 우극한이 같으면 완전히 연속입니다. 그렇다면 어떤 구간에서 f가 연속임은 어떻게 정의될까요? 간단하게, 구간 내의 모든 점에서 연속이면 f가 그 구간에서 연속이라고 합니다. 열린구간이면 문제될 ..

평균값 정리는 순간변화율과 평균변화율을 매듭지으며, 다시 말해 도함수와 원시함수를 매듭짓습니다. 이는 수학적으로 의미가 큽니다. 실제로 다음번에 다룰 미적분학의 기본정리의 증명에서도 평균값 정리가 쓰입니다. 평균값 정리의 내용은 다음과 같습니다. 한글로 표현하자면 다음을 의미합니다. 함수 f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이며, 열린구간 (a, b)에서 미분가능하면 이를 만족하는 c가 (a, b)에 존재한다. 물론 양변에 b-a를 곱해 다르게 표현하면, f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)를 만족하는 c가 (a, b)에 존재하는 것과도 같죠. 그럼 롤의 정리를 사용해 평균값 정리를 증명해보겠습니다. 점 A를 (a, f(a)), 점 B를 (b, f(b))라고 두겠습니다. 그러면 직선 AB의 방정식은 아래와..

롤의 정리는 증명이 간단하면서도 평균값 정리나 로피탈의 정리 등 다양한 정리들의 증명에 잘 사용되니 알아두시면 유용하리라 기대됩니다. 롤의 정리의 증명에는 페르마의 정리가 사용되는데, 이것은 이전 글에 증명해 두었습니다. 롤의 정리는 다음과 같습니다. 즉, 함수 f가 다음 세 조건을 만족할 때, f가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f가 열린구간 (a, b)에서 미분가능하며 f(a) = f(b). f'(c)=0을 만족하는 c가 열린구간 (a, b)에 존재한다는 의미입니다. 세 가지 경우로 나누어서 증명하겠습니다. 1. f(x) = k, 상수일 때 (f가 상수함수일 때) 열린구간 (a,b) 전체에서 f'(x)=0이므로, c에는 구간 내의 아무 값이나 가져와도 롤의 정리에 부합합니다. 2. 열린구간 (a,..

페르마의 정리는 다음 글에 설명할 롤의 정리의 증명에 사용되며, 롤의 정리는 다시 미적분학에서 매우 중요한 정리 중 하나인 평균값 정리(MVT)의 증명으로까지 이어집니다. 따라서 이번 글에서 페르마의 정리의 증명을 다루겠습니다. 페르마의 정리는 위와 같습니다. f가 c에서 극댓값 혹은 극솟값을 가지며 f'(c)가 존재할 때, 그때의 f'(c) 값이 0이라는 뜻입니다. 이를 증명하기 이전에 극대/극솟값의 정의를 먼저 살피고, 페르마의 정리의 증명에 이용되는 최대·최소 정리까지 살펴봅시다. 먼저 최댓값과 최솟값(absolute maximum/minimum)은 말 그대로 함수의 정의역 전체에서 가장 크고 작은 값을 의미합니다. Calculus에서는 위와 같이 설명하고 있습니다. D는 정의역입니다. 정의역에 속..

Calculus에서 가장 먼저, 기본으로 다루어지는 극한 법칙 다섯 가지 중 합과 차의 법칙(1, 2)를 이번 글에서 증명하도록 하겠습니다. 위 이미지에서 언급되었듯, x가 a로 접근할 때의 f(x)와 g(x)의 극한값은 존재한다고 가정합니다. 아래 증명에서는 이 극한값을 각각 F, G라고 하겠습니다. 1. 합의 법칙 위 두 줄은 'x가 a로 접근할 때의 f(x)와 g(x)의 극한값이 각각 F와 G'라는 전제를 엡실론-델타 논법으로 표현한 것입니다. 이미 가정한 내용이므로 이는 성립합니다. 혹여나 일러두자면, ∀은 '모든 ~에 대해', ∃은 '존재한다.', s.t.는 '다음을 만족하는' 이라는 뜻입니다. 이제 모든 양의 실수 ε에 대해 δ를 다음과 같이 채택하겠습니다. min은 최소함수입니다. 즉, δ을..