극한 법칙의 엄밀한 증명(엡실론-델타 논법) - 합과 차의 법칙

 

 

Calculus에서 가장 먼저, 기본으로 다루어지는 극한 법칙 다섯 가지 중 합과 차의 법칙(1, 2)를 이번 글에서 증명하도록 하겠습니다.

위 이미지에서 언급되었듯, x가 a로 접근할 때의 f(x)와 g(x)의 극한값은 존재한다고 가정합니다.  아래 증명에서는 이 극한값을 각각 F, G라고 하겠습니다. 

 

 

 

1. 합의 법칙

 

 

위 두 줄은 'x가 a로 접근할 때의 f(x)와 g(x)의 극한값이 각각 F와 G'라는 전제를 엡실론-델타 논법으로 표현한 것입니다. 이미 가정한 내용이므로 이는 성립합니다.

혹여나 일러두자면, ∀은 '모든 ~에 대해', ∃은 '존재한다.', s.t.는 '다음을 만족하는' 이라는 뜻입니다.

 

 

이제 모든 양의 실수 ε에 대해 δ를 다음과 같이 채택하겠습니다.

 

 

min은 최소함수입니다.  즉, δ을  δ₁과  δ₂ 중 더 작은 값으로 설정하겠다는 의미입니다. 다시 말해,

 

 

위의 부등식을 성립하게 만드려는 목적입니다.

 

 

 

그러면, 만약 다음이 성립한다고 가정합시다.

 

 

 

그러면 앞선 부등식에 의해, 아래 두 식도 자연스럽게 성립합니다.

 

 

그러면 아까 언급했던 전제에 의해, 다음 두 부등식이 모두 성립합니다.

 

 

이 부등식들을 ①이라고 두겠습니다.

 

 

 

 

한편 삼각부등식을 사용하면 위와 같은 부등식 관계를 얻을 수 있습니다.

삼각부등식은 아래와 같은 부등식 관계를 말하는데, 보편적으로 쓰이므로 여기서 증명하지는 않겠습니다.

 

 

 

그런데 ①에 의해, 아래 등식이 성립합니다.

 

 

 

 

즉, 최종적으로, 아래와 같은 등식이 성립합니다.

 

 

 

 

 

 

정리하자면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

따라서, 극한의 엄밀한 정의에 의해 x가 a로 접근할 때의 f(x)+g(x)의 극한값은 F+G와 같습니다.

 

 

 

2. 차의 법칙

차의 법칙은 합의 법칙과 크게 다르지 않습니다.

 

 

마찬가지로 삼각부등식을 사용해 얻은 위 부등식 관계를 이용해 동일하게 증명하면 됩니다. |G-g(x)|는 당연히 |g(x)-G|와 같으므로, 앞선 증명에서와 다를 것이 없음을 알 수 있습니다.

 

 

 

다음번에 곱의 증명을 다루겠습니다.