미적분의 기본정리 1 증명 (F.T.C. 1)

'기본'이라는 단어는 모든 것의 시작이 됩니다. 미적분의 기본정리는 미분과 적분이라는 대학수학의 두 꽃을 연결짓는 시초이며, 미적분학의 가장 중요한 정리라고 해도 과언이 아니죠.

 

 

미적분학의 기본 정리는 두 가지가 있으며, 그 중 첫 번째 정리가 이것입니다.

 

 

 

f가 [a,b]에서 연속일 때, g를 다음과 같이 정의하면,

 

 

g는 [a,b]에서 연속이며 (a,b)에서 미분가능하고, g'(x)=f(x)입니다.

 

라는 것이 이 정리의 내용입니다.

 

 

이것은 다시 위 식과도 똑같은 의미입니다. 간단하게 말해, 부정적분하고 미분하면 원래 함수라는 뜻입니다. 

 

 

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이제 이것을 증명합시다.

 

우선 (a, b)에 속하는 x에 대해, x+h도 (a, b)에 속하는 h가 존재하겠죠. (단 h가 0은 될 수 없습니다.)

그러면, 앞서 정의한 g(x)에 의해 g(x+h)-g(x)는 아래와 같이 표현됩니다.

 

 

정적분의 성질에 의해 g(x+h)의 적분구간을 아래와 같이 둘로 쪼개면, 두 항이 소거됨을 알 수 있습니다, 따라서 최종적으로 아래와 같이 정리됩니다.

 

 

 

양변을 h로 나누면

 

 

 

한편, h가 양수일 때를 생각합시다. [x, x+h]에서 f가 연속이므로, 최대·최소 정리에 의해 f(u)=m(구간 내 최솟값), f(v)=M(구간 내 최댓값)을 만족하는 u, v가 [x, x+h]에 존재합니다. 그러면, 아래 식이 성립하겠죠.

 

 

이건 기하적으로 바라보면 이해가 빠르실 겁니다.

 

 

초록색 사각형의 넓이가 mh, 빨간색 사각형의 넓이가 Mh, 파란색 사각형의 넓이가 적분한 넓이입니다. 그러면 아까 전 식이 당연히 성립함을 알 수 있죠.

(물론 여기 그래프의 넓이는 음수를 포함하는 개념입니다.)

 

이제 아까 그 식을 h로 나눕시다. 이제 m과 M은 각각 같은 값인 f(u)와 f(v)로 적겠습니다.

 

 

그리고 이 식이 아래 식과 같아지는 것은 아까 보였습니다.

 

 

이제 lim을 씌울 준비를 하기 위해 다음 사실을 알고 갑시다.

u와 v는 x와 x+h 사이에 있는 값입니다. 그렇다면,  h→0일 때, u→x이고 v→x임을 알 수 있죠. 일종의 조임정리 같은 느낌이랄까요.

 

 

그래서 위와 같이 성립합니다.

그러면 이제 아까 전 부등식에도 h→0의 극한을 취합시다.

 

 

따라서 조임정리(샌드위치 정리)에 의해,

 

 

이 극한도 f(x)로 수렴함을 알 수 있습니다. 그리고 이 극한은, 미분의 정의에 의해, 다름아닌 g'(x)입니다.

 

결과적으로, g'(x)=f(x)임이 증명되었습니다.

다음 글에서 미적분학의 기본 정리 중 2번째 정리로 찾아오겠습니다.